Задача №10732

В прямоугольной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов равен $135^{\circ }\text{.}$ Найдите меньшую боковую сторону.

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция с основаниями $BC=2$ и $AD=6\text{,}$ в которой боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям.

В прямоугольной трапеции углы при боковой стороне, перпендикулярной основаниям, равны $90^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle A=\angle B=90^{\circ }\text{.}$ Из двух оставшихся углов один является острым, а другой — тупым. Так как их сумма равна $180^{\circ }\text{,}$ тупой угол равен $135^{\circ }$ ($\angle C=135^{\circ }$), а острый угол равен $\angle D=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD\text{.}$ Четырёхугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому:

$AH=BC=2$

$CH=AB$

Найдём длину отрезка $HD\text{:}$ $HD=AD-AH=6-2=4\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD=90^{\circ }$). Поскольку один из его острых углов $\angle D=45^{\circ }\text{,}$ второй острый угол также равен $\angle HCD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

Следовательно, треугольник $CHD$ — равнобедренный, откуда $CH=HD=4\text{.}$

Так как меньшая боковая сторона трапеции равна высоте $CH\text{,}$ получаем $AB=CH=4\text{.}$