Задача №10727

Поскольку $AB$ — диаметр окружности с центром $O\text{,}$ точки $A\text{,}$ $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle AOC=180^{\circ }-\angle COB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $AOC\text{.}$ Отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы окружности, следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{.}$

Так как угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^{\circ }\text{,}$ углы при его основании также равны:

$$\angle OAC=\angle OCA=\frac{180^{\circ }-\angle AOC}{2}=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Все углы треугольника $AOC$ равны $60^{\circ }\text{,}$ значит, треугольник $AOC$ является равносторонним. Отсюда получаем, что радиус окружности $R$ равен стороне $AC\text{:}$

$$R=OA=OC=AC=24.$$

Диаметр окружности $AB$ в два раза больше её радиуса:

$$AB=2R=2\cdot 24=48.$$

Ответ: 48