Задача №10726 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 7, боковая сторона BC = 25. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC = 25 медиана BK = 7, проведённая к основанию AC, также является его высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC (угол BKC равен 90^). По теореме Пифагора найдём катет KC: KC = sqrt(BC^2 - BK^2) = sqrt(25^2 - 7^2) = sqrt(625 - 49) = sqrt(576) = 24 Поскольку BK — медиана, точка K является серединой основания AC, то есть: AC = 2 * KC = 2 * 24 = 48 Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, следовательно, он является средней линией треугольника ABC, параллельной основанию AC. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна: MN = (1)/(2) AC = KC = 24.

24