Задача №10722

Рассмотрим прямоугольник $ABCD\text{,}$ в котором $AB=18$ и $AD=42\text{.}$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, а углы прямые:

$$BC=AD=42.$$ $$CD=AB=18.$$ $$\angle B=\angle C=90^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (угол $B$ равен $90^{\circ }$). По условию, $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$\angle AEB=90^{\circ }-\angle EAB=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$$

Поскольку два угла треугольника $ABE$ равны, он является равнобедренным с основанием $AE\text{.}$ Отсюда:

$$BE=AB=18.$$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому длина отрезка $EC$ равна:

$$EC=BC-BE=42-18=24.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ (угол $C$ равен $90^{\circ }$).
По теореме Пифагора:

$$E{D}^2=E{C}^2+C{D}^2.$$ $$E{D}^2=24^2+18^2=576+324=900.$$ $$ED=\sqrt{900}=30.$$

Ответ: 30.