В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 12, tg BAC = (sqrt(13))/(6). Найдите длину стороны AB.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Опустим высоту BH из вершины B на основание AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому H — середина AC: AH = (AC)/(2) = (12)/(2) = 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ( AHB = 90^). По определению тангенса острого угла: tg BAC = (BH)/(AH). Отсюда: (BH)/(6) = (sqrt(13))/(6) => BH = sqrt(13). По теореме Пифагора в треугольнике ABH: AB = sqrt(AH^2 + BH^2) = sqrt(6^2 + (13)^2) = sqrt(36 + 13) = sqrt(49) = 7. Ответ: 7.

7