Задача №10718

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ $AC=12\text{,}$ $\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{\sqrt{13}}{6}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $H$ — середина $AC\text{:}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). По определению тангенса острого угла:

Отсюда:

По теореме Пифагора в треугольнике $ABH\text{:}$

Ответ: 7.