Задача №10715

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=21\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. В параллелограмме противоположные углы равны: $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\angle A=\angle C=60^{\circ }\text{.}$

2. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому:
$\angle B=\angle D=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

3. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. Значит, все его стороны равны. По условию $AB=21\text{,}$ поэтому:
$AB=BC=CD=DA=21\text{.}$

4. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём $AB=AD=21$ и $\angle A=60^{\circ }\text{.}$ Треугольник $ABD$ равнобедренный с углом $60^{\circ }$ при вершине, следовательно, он равносторонний. Отсюда:
$BD=AB=21\text{.}$

Ответ: 21