Задача №10714

Проведём диагональ $BD\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD\text{:}$
1. Сторона $BD$ — общая.
2. $AB=BC$ по условию.
3. $AD=CD$ по условию.

Следовательно, $△ABD=△CBD$ по трём сторонам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

$$\angle A=\angle C.$$

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{,}$ то есть:

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$$

Так как $\angle C=\angle A\text{,}$ подставим известные значения углов в уравнение:

$$\angle A+59^{\circ }+\angle A+147^{\circ }=360^{\circ },$$ $$2\angle A+206^{\circ }=360^{\circ },$$ $$2\angle A=360^{\circ }-206^{\circ },$$ $$2\angle A=154^{\circ },$$ $$\angle A=77^{\circ }.$$

Ответ: 77.