Задача №10713

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC\text{.}$

1. Так как $BK$ — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, она также является его высотой. Следовательно, $BK\perp AC$ и треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB=90^{\circ }$).

2. Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ поэтому $MN$ является средней линией треугольника $ABC\text{.}$ По свойству средней линии:

$$MN=\frac{AC}{2}.$$

Отсюда находим длину половины основания $AC\text{:}$

$$AK=\frac{AC}{2}=MN=24.$$

3. В прямоугольном треугольнике $ABK$ по теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$ (которая является боковой стороной треугольника):

$$A{B}^2=B{K}^2+A{K}^2.$$ $$A{B}^2=7^2+24^2=49+576=625.$$ $$AB=\sqrt{625}=25.$$

Ответ: 25.