Задача №10708

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

По условию $BC=BM\text{,}$ значит, треугольник $BMC$ является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

Высота $BH$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $AC\text{.}$ Следовательно, отрезок $BH$ также является высотой треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к основанию $MC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, $BH$ — медиана треугольника $BMC\text{,}$ то есть точка $H$ — середина отрезка $MC\text{.}$

Отсюда получаем:

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=6+3=9.$$

Ответ: $9\text{.}$