В треугольнике ABC сторона AC = 12, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана треугольника ABC, точка M является серединой стороны AC. Следовательно: AM = MC = (AC)/(2) = (12)/(2) = 6. По условию BC = BM, значит, треугольник BMC является равнобедренным с основанием MC. Высота BH треугольника ABC перпендикулярна прямой AC. Следовательно, отрезок BH также является высотой треугольника BMC, проведённой к основанию MC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, BH — медиана треугольника BMC, то есть точка H — середина отрезка MC. Отсюда получаем: MH = HC = (MC)/(2) = (6)/(2) = 3. Длина отрезка AH равна сумме длин отрезков AM и MH: AH = AM + MH = 6 + 3 = 9. Ответ: 9.

9