Задача №10698

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, у каждого из которых гипотенуза — сторона ромба, а катеты — половины диагоналей.

Пусть $d_1=12$ — данная диагональ. Тогда её половина равна $\frac{d_1}{2}=6\text{.}$

Обозначим вторую диагональ $d_2\text{.}$ По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со стороной ромба $10$ в качестве гипотенузы:

$${\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2+6^2=10^2.$$

Тогда:

$${\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2=100-36=64\Rightarrow \frac{d_2}{2}=8\Rightarrow d_2=16.$$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96.$$

Ответ: 96