Задача №10695

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $AB=BC=30$ и основанием $AC\text{.}$

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны ($\angle A=\angle C$) и являются острыми, их косинус положителен. Из основного тригонометрического тождества найдем $\cos A\text{:}$

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, то есть $AH=HC=\frac{1}{2}AC\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$):

$$BH=AB\cdot \sin A=30\cdot \frac{4}{5}=24.$$ $$AH=AB\cdot \cos A=30\cdot \frac{3}{5}=18.$$

Следовательно, длина основания $AC$ равна:

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 18=36.$$

Найдем площадь треугольника $ABC\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 24=432.$$

Ответ: $432\text{.}$