В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 30, sin A = (4)/(5). Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами AB = BC = 30 и основанием AC. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны ( A = C) и являются острыми, их косинус положителен. Из основного тригонометрического тождества найдем cos A: cos A = sqrt(1 - sin^2 A) = sqrt(1 - ((4)/(5))^2) = sqrt(1 - (16)/(25)) = sqrt((9)/(25)) = (3)/(5). Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, то есть AH = HC = (1)/(2)AC. В прямоугольном треугольнике ABH ( AHB = 90^): BH = AB * sin A = 30 * (4)/(5) = 24. AH = AB * cos A = 30 * (3)/(5) = 18. Следовательно, длина основания AC равна: AC = 2 * AH = 2 * 18 = 36. Найдем площадь треугольника ABC: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 36 * 24 = 432. Ответ: 432.

432