Задача №10687

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=44$ и $AD=77\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB=44$ и $BC=AD=77\text{.}$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ ($\angle B=90^{\circ }$). По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $\angle AEB=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$ Треугольник $ABE$ является равнобедренным, значит, $BE=AB=44\text{.}$

3. Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$ Найдём длину отрезка $EC\text{:}$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ ($\angle C=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $ED\text{:}$

Для упрощения вычислений заметим, что $33=11\cdot 3$ и $44=11\cdot 4\text{:}$

Ответ: 55.