Задача №10678

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус острого угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos A=\frac{AC}{AB}.$$

Отсюда выразим длину прилежащего катета:

$$AC=AB\cdot \cos A.$$

Для нахождения $\cos A$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1\Rightarrow {\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A.$$

Поскольку $A$ — острый угол прямоугольного треугольника, то $\cos A>0\text{:}$

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-0,8^2}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6.$$

Подставим значения гипотенузы и косинуса в формулу для $AC\text{:}$

$$AC=30\cdot 0,6=18.$$

Ответ: 18.