Задача №10677

Дано, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ (где $AB=BC$) угол $\angle ABC=120^{\circ }\text{.}$ Высота $BK$ проведена к основанию $AC\text{.}$

Найдем углы при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC\text{.}$ Поскольку сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ а углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=\frac{180^{\circ }-\angle ABC}{2}=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (угол $\angle AKB=90^{\circ }\text{,}$ так как $BK$ — высота).

В прямоугольном треугольнике катет $BK\text{,}$ лежащий против угла $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BK=\frac{1}{2}AB.$$

Отсюда выразим боковую сторону $AB\text{:}$

$$AB=2\cdot BK=2\cdot 53=106.$$

Ответ: 106