Задача №10676

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC=44\text{,}$ $AD=76$ и боковыми сторонами $AB=CD=65\text{.}$ Требуется найти длину диагонали $AC\text{.}$

1. Проведём высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD\text{.}$

2. Поскольку трапеция равнобедренная, отрезок $KD$ равен полуразности оснований:

$$KD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{76-44}{2}=\frac{32}{2}=16.$$

3. Отрезок $AK$ равен:

$$AK=AD-KD=76-16=60.$$

4. Из прямоугольного треугольника $CDK$ по теореме Пифагора найдём высоту $CK\text{:}$

$$C{K}^2=C{D}^2-K{D}^2$$ $$C{K}^2=65^2-16^2=(65-16)(65+16)=49\cdot 81=3969.$$ $$CK=\sqrt{3969}=63.$$

5. Из прямоугольного треугольника $ACK$ по теореме Пифагора найдём диагональ $AC\text{:}$

$$A{C}^2=A{K}^2+C{K}^2$$ $$A{C}^2=60^2+63^2=3600+3969=7569.$$ $$AC=\sqrt{7569}=87.$$

Ответ: 87