Задача №10674

Пусть в прямоугольном треугольнике один из катетов равен $a=8\text{,}$ другой катет равен $b\text{,}$ а гипотенуза равна $c\text{.}$

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. В прямоугольном треугольнике возможны следующие случаи для средней линии длины 3:
1. Она параллельна известному катету: тогда её длина должна быть равна $\frac{8}{2}=4\text{,}$ что противоречит условию (длина средней линии равна 3).
2. Она параллельна гипотенузе $c\text{:}$ тогда гипотенуза $c=2\cdot 3=6\text{.}$ Но гипотенуза всегда больше любого из катетов, то есть $c>8\text{,}$ поэтому этот случай невозможен.
3. Она параллельна неизвестному катету $b\text{:}$ тогда второй катет равен $b=2\cdot 3=6\text{.}$

По теореме Пифагора найдём гипотенузу треугольника:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$