Задача №10673

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ синус острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin A=\frac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot \sin A.$$

Найдем $\sin A$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1.$$

Так как угол $A$ — острый угол прямоугольного треугольника, его синус положителен:

$$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Вычислим длину стороны $BC\text{:}$

$$BC=39\cdot \frac{12}{13}=3\cdot 12=36.$$

Ответ: 36