Задача №10671 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

Сумма двух углов ромба равна 240^, а его меньшая диагональ равна 27. Найдите периметр ромба.

Пусть ABCD — данный ромб, в котором сумма двух углов равна 240^. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180^. Поскольку сумма двух углов равна 240^, эти углы не могут прилежать к одной стороне. Значит, это противоположные тупые углы: B = D = (240^)/(2) = 120^ Тогда острые углы ромба равны: A = C = 180^ - 120^ = 60^ Меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла. Пусть это диагональ BD. Рассмотрим треугольник ABD. Он является равнобедренным, так как стороны ромба равны (AB = AD). Поскольку угол при вершине A = 60^, углы при основании равны: ABD = ADB = (180^ - 60^)/(2) = 60^ Таким образом, все углы треугольника ABD равны 60^, то есть треугольник ABD — равносторонний. Следовательно, сторона ромба равна его меньшей диагонали: AB = BD = 27 Периметр ромба равен сумме длин четырех его сторон: P = 4 * AB = 4 * 27 = 108 Ответ: 108

108