Задача №10669

Так как по условию медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, она также является биссектрисой. Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC$ и основанием $AC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ а треугольник $ABM$ — прямоугольный с прямым углом $M$ ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ имеем:

$$\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Найдем угол $A$ в прямоугольном треугольнике $ABM\text{:}$

$$\angle A=90^{\circ }-\angle ABM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике против угла в $30^{\circ }$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет $BM$ лежит напротив угла $A=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$BM=\frac{1}{2}AB⟹AB=2\cdot BM.$$

Подставим длину медианы $BM=9\text{:}$

$$AB=2\cdot 9=18.$$

Ответ: 18