В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 9. Найдите длину стороны AB.

Так как по условию медиана BM делит угол B пополам, она также является биссектрисой. Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AB = BC и основанием AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, BM AC, а треугольник ABM — прямоугольный с прямым углом M ( AMB = 90^). Поскольку BM — биссектриса угла B, имеем: ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^. Найдем угол A в прямоугольном треугольнике ABM: A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^. В прямоугольном треугольнике против угла в 30^ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет BM лежит напротив угла A = 30^, следовательно: BM = (1)/(2) AB AB = 2 * BM. Подставим длину медианы BM = 9: AB = 2 * 9 = 18. Ответ: 18

18