Задача №10666

1. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{100}{2}=50$$

2. Рассмотрим треугольник $BMC\text{.}$ По условию $BC=BM\text{,}$ следовательно, треугольник $BMC$ является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

3. Отрезок $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ проведенная к стороне $AC\text{.}$ Она также является высотой равнобедренного треугольника $BMC\text{,}$ проведенной к его основанию $MC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Таким образом, $H$ — середина отрезка $MC\text{:}$

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{50}{2}=25$$

4. Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=50+25=75$$

Ответ: 75.