Задача №10664

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ одновременно является высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ катет $BM=9$ противолежит углу $A\text{,}$ а катет $AM$ прилежит к нему. Тогда:

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}=\frac{9}{AM}.$$

По условию $\mathrm{tg}A=\frac{9}{40}\text{,}$ поэтому:

$$\frac{9}{AM}=\frac{9}{40}\Rightarrow AM=40.$$

Боковая сторона $AB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $ABM\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{B{M}^2+A{M}^2}=\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41.$$

Ответ: 41.