В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM, проведённая к основанию, равна 9, а tg A = (9)/(40). Найдите длину боковой стороны треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC медиана BM, проведённая к основанию AC, одновременно является высотой. Значит, BM AC, и треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при вершине M. В прямоугольном треугольнике ABM катет BM = 9 противолежит углу A, а катет AM прилежит к нему. Тогда: tg A = (BM)/(AM) = (9)/(AM). По условию tg A = (9)/(40), поэтому: (9)/(AM) = (9)/(40) => AM = 40. Боковая сторона AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABM. По теореме Пифагора: AB = sqrt(BM^2 + AM^2) = sqrt(9^2 + 40^2) = sqrt(81 + 1600) = sqrt(1681) = 41. Ответ: 41.

41