Задача №10663

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, также является высотой. Таким образом, треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM\text{:}$ $\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}\text{.}$

Подставим известные значения: $\frac{3}{4}=\frac{9}{AM}⟹AM=\frac{9\cdot 4}{3}=12\text{.}$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM$ найдём гипотенузу $AB\text{,}$ которая является боковой стороной треугольника $ABC\text{:}$ $AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{.}$

Ответ: 15.