Задача №10662

Две прямые-секущие пересекаются в точке $P\text{,}$ лежащей на прямой $m\text{,}$ и пересекают прямую $n$ в точках $A$ (слева) и $B$ (справа). Получается треугольник $APB$ с вершиной $P$ на прямой $m$ и основанием $AB$ на прямой $n\text{.}$ Угол $3$ — это угол при вершине $P$ (угол $\angle APB$).

Угол $1$ расположен при точке $P$ выше прямой $m$ и равен углу между прямой $m$ и верхним продолжением левой секущей (той, что идёт к точке $A$). Так как $m\parallel n\text{,}$ а левая секущая — общая прямая, то угол $1$ и угол $\angle PAB$ при основании — накрест лежащие при параллельных прямых $m$ и $n\text{.}$ Значит:

$$\angle PAB=\angle 1=77^{\circ }.$$

Угол $2$ — это угол при основании треугольника в точке $B\text{:}$

$$\angle PBA=\angle 2=88^{\circ }.$$

Сумма углов треугольника $APB$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle 3=180^{\circ }-\angle PAB-\angle PBA=180^{\circ }-77^{\circ }-88^{\circ }=15^{\circ }.$$

Ответ: 15