Задача №10659

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK$ также является высотой. Следовательно, треугольник $ABK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K\text{.}$

Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC\text{,}$ значит, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ параллельная основанию $AC\text{.}$ По свойству средней линии:

$$AC=2\cdot MN=2\cdot 15=30.$$

Так как $K$ — середина основания $AC\text{,}$ отрезок $AK$ равен:

$$AK=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{K}^2+B{K}^2.$$ $$AB=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17.$$

Ответ: $17$