Задача №10657

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, является также высотой, поэтому $BM\perp AC$ и треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM\text{:}$

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}=\frac{8}{15}.$$

Тогда:

$$AM=\frac{BM}{\mathrm{tg}A}=\frac{16}{\frac{8}{15}}=16\cdot \frac{15}{8}=30.$$

Боковая сторона $AB$ — гипотенуза треугольника $ABM\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{30^2+16^2}=\sqrt{900+256}=\sqrt{1156}=34.$$

Ответ: 34.