Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69, боковая сторона равна 50. Найдите длину диагонали трапеции.

Задача №10656: Планиметрия

Пусть $A B C D$ — равнобедренная трапеция с основаниями $B C = 41,$ $A D = 69$ и боковой стороной $A B = C D = 50 .$ Проведём диагональ $B D .$

1. Опустим высоты $B H$ и $C K$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $A D .$

Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники $A B H$ и $D C K$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда:

A H = K D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{69 - 41}{2} = 14

2. Найдём отрезок $H D :$

H D = A D - A H = 69 - 14 = 55

3. Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора найдём высоту $B H :$

B H = A B^{2} - A H^{2} = 5 0^{2} - 1 4^{2} = (50 - 14) (50 + 14) = 36 \cdot 64 = 6 \cdot 8 = 48

4. Из прямоугольного треугольника $B H D$ по теореме Пифагора найдём диагональ $B D :$

B D = B H^{2} + H D^{2} = 4 8^{2} + 5 5^{2} = 2304 + 3025 = 5329 = 73

Ответ: 73.

1. Опустим высоты $B H$ и $C K$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $A D .$

A H = K D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{69 - 41}{2} = 14

2. Найдём отрезок $H D :$

H D = A D - A H = 69 - 14 = 55

3. Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора найдём высоту $B H :$

B H = A B^{2} - A H^{2} = 5 0^{2} - 1 4^{2} = (50 - 14) (50 + 14) = 36 \cdot 64 = 6 \cdot 8 = 48

4. Из прямоугольного треугольника $B H D$ по теореме Пифагора найдём диагональ $B D :$

B D = B H^{2} + H D^{2} = 4 8^{2} + 5 5^{2} = 2304 + 3025 = 5329 = 73

Ответ: 73.