Задача №10652

В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos B=\frac{BC}{AB}.$$

Отсюда найдём длину катета $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \cos B=82\cdot \frac{40}{41}=2\cdot 40=80.$$

По теореме Пифагора найдём длину второго катета $AC\text{:}$

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{82^2-80^2}=\sqrt{(82-80)(82+80)}=\sqrt{2\cdot 162}=\sqrt{324}=18.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 80=9\cdot 80=720.$$

Ответ: $720\text{.}$