Задача №10651

Пусть $\angle A$ — внутренний угол прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Поскольку внешний угол при вершине $A$ равен $120^{\circ }\text{,}$ а сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ найдем внутренний угол $\angle A\text{:}$

$$\angle A=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ поэтому второй острый угол $\angle B$ равен:

$$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит против угла $\angle B=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$AC=\frac{AB}{2}\Rightarrow AB=2\cdot AC.$$

Подставим известную длину катета $AC=34\text{:}$

$$AB=2\cdot 34=68.$$

Ответ: 68