Задача №10649

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC=28\text{,}$ $\angle ABC=120^{\circ }\text{,}$ $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK\text{.}$

Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC=28\text{,}$ данный треугольник является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, $BK\perp AC\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle BKA=90^{\circ }$).

Поскольку $BK$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ то:

В прямоугольном треугольнике $ABK$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ следовательно:

По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BK$ лежит против угла $BAK=30^{\circ }\text{,}$ значит:

Ответ: 14