Задача №10649 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 28, ABC = 120^, BK — биссектриса. Найдите длину отрезка BK.

Так как в треугольнике ABC стороны AB = BC = 28, данный треугольник является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, BK AC, то есть треугольник ABK — прямоугольный ( BKA = 90^). Поскольку BK — биссектриса угла ABC, то: ABK = ( ABC)/(2) = (120^)/(2) = 60^. В прямоугольном треугольнике ABK сумма острых углов равна 90^, следовательно: BAK = 90^ - ABK = 90^ - 60^ = 30^. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы. Катет BK лежит против угла BAK = 30^, значит: BK = (AB)/(2) = (28)/(2) = 14. Ответ: 14

14