Задача №10648

Дано, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $BC=15\text{.}$ Следовательно, боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$ ($AB=BC=15$), а основанием — сторона $AC\text{.}$

Так как $BK$ — медиана, проведенная к основанию $AC$ равнобедренного треугольника, она также является его высотой, то есть $BK\perp AC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ ($\angle BKC=90^{\circ }$):
По теореме Пифагора:

$$B{C}^2=B{K}^2+K{C}^2$$ $$KC=\sqrt{B{C}^2-B{K}^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12.$$

Поскольку $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой $AC\text{,}$ следовательно:

$$AC=2\cdot KC=2\cdot 12=24.$$

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ то есть является средней линией треугольника $ABC\text{,}$ параллельной основанию $AC\text{.}$

Длина средней линии треугольника равна половине стороны, которой она параллельна:

$$MN=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12.$$