Задача №10647

Диагонали ромба пересекаются в точке $O\text{,}$ делятся ею пополам и взаимно перпендикулярны.

Тогда:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{11}}{2}=3\sqrt{11},BO=\frac{BD}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

Треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$ Найдём сторону $AB$ по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{11}\right)}^2+1^2}=\sqrt{99+1}=\sqrt{100}=10.$$

Угол $BAC$ — это угол $OAB$ в прямоугольном треугольнике $AOB\text{.}$ Синус этого угла равен отношению противолежащего катета $BO$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin \angle BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{1}{10}=0,1.$$

Ответ: 0,1.