Задача №10644

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^{\circ }\text{.}$ Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 17. Найдите длину стороны $AB\text{.}$

В треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является медианой по условию, то есть $AM=MC\text{.}$ Также по условию $BM$ делит угол $B$ пополам, следовательно, является биссектрисой угла $B\text{.}$

Так как в треугольнике $ABC$ медиана $BM$ совпадает с биссектрисой, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Таким образом, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

По условию, $BM$ делит угол $B$ пополам, значит:

В прямоугольном треугольнике $ABM$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ откуда найдём угол $A\text{:}$

В прямоугольном треугольнике против угла в $30^{\circ }$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет $BM$ лежит напротив угла $A=30^{\circ }\text{,}$ следовательно:

Подставим значение $BM=17\text{:}$