Задача №10638

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $AC$ и $BD$ — его диагонали.

1. У ромба все стороны равны. Пусть сторона ромба равна $a\text{.}$ Так как периметр ромба равен 104, то:

$$P=4a=104\Rightarrow a=\frac{104}{4}=26.$$

2. Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{,}$ эти два угла не могут быть соседними. Значит, они являются противоположными. Противоположные углы ромба равны, поэтому каждый из них равен:

$$120^{\circ }:2=60^{\circ }.$$

Пусть $\angle BAD=60^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ Стороны $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба ($AB=AD=26$), поэтому треугольник $ABD$ — равнобедренный. Так как угол $\angle BAD$ равен $60^{\circ }\text{,}$ то треугольник $ABD$ является равносторонним.

4. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна его стороне:

$$BD=AB=AD=26.$$

Ответ: 26.