Задача №10633

Пусть высоты верхней и нижней строк прямоугольника равны $h_1$ и $h_2\text{,}$ а ширины левого и правого столбцов равны $w_1$ и $w_2$ соответственно.

Тогда площади меньших прямоугольников выражаются следующими произведениями:

• левый верхний прямоугольник: $S_1=h_1\cdot w_1=18\text{;}$
• правый верхний прямоугольник: $S_2=h_1\cdot w_2=12\text{;}$
• правый нижний прямоугольник: $S_3=h_2\cdot w_2=20\text{;}$
• левый нижний прямоугольник: $S_4=h_2\cdot w_1\text{.}$

Заметим, что произведения площадей пар прямоугольников, лежащих по диагонали, равны между собой:

$$S_1\cdot S_3=(h_1\cdot w_1)\cdot (h_2\cdot w_2)=h_1{h}_2{w}_1{w}_2,$$ $$S_2\cdot S_4=(h_1\cdot w_2)\cdot (h_2\cdot w_1)=h_1{h}_2{w}_1{w}_2.$$

Отсюда следует соотношение:

$$S_1\cdot S_3=S_2\cdot S_4.$$

Подставим известные значения площадей в это равенство:

$$18\cdot 20=12\cdot S_4,$$ $$360=12\cdot S_4,$$ $$S_4=\frac{360}{12}=30.$$

Таким образом, площадь четвёртого прямоугольника равна 30.

Ответ: 30