Задача №10628

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB=25\text{,}$ $AC=14\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм — ромб. В ромбе все стороны равны, поэтому $AB=BC=CD=DA=25\text{.}$

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда:
$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB$ прямой, так как диагонали ромба перпендикулярны). В нём $AB=25$ — гипотенуза, $AO=7$ — катет.

По теореме Пифагора:

Отсюда $BO=\sqrt{576}=24\text{.}$

Диагональ $BD=2\cdot BO=2\cdot 24=48\text{.}$

Ответ: 48