В параллелограмме ABCD известно, что AB = 16, AC = BD = 34. Найдите площадь параллелограмма.

Задача №10626: Планиметрия

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон:

A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2})

Подставим известные значения: $A B = 16,$ $A C = B D = 34 .$

3 4^{2} + 3 4^{2} = 2 (1 6^{2} + B C^{2})

1156 + 1156 = 2 (256 + B C^{2})

2312 = 2 (256 + B C^{2})

Разделим обе части на 2:

1156 = 256 + B C^{2}

Отсюда:

B C^{2} = 1156 - 256 = 900 \Rightarrow B C = 30

Теперь проверим, является ли параллелограмм прямоугольником. В треугольнике $A B C$ по теореме косинусов:

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos (∠ A B C)

1156 = 256 + 900 - 2 \cdot 16 \cdot 30 \cdot cos (∠ A B C)

1156 = 1156 - 960 cos (∠ A B C)

Следовательно, $960 cos (∠ A B C) = 0,$ откуда $cos (∠ A B C) = 0$ и $∠ A B C = 9 0^{\circ} .$

Таким образом, $A B C D$ — прямоугольник, и его площадь равна:

S = A B \cdot B C = 16 \cdot 30 = 480

Ответ: 480.