Задача №10624

Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=104$ и $BC=56$ и боковыми сторонами $AB=CD=30\text{.}$

Опустим из вершин $B$ и $C$ меньшего основания высоты на большее основание $AD\text{.}$ В силу симметрии равнобедренной трапеции отрезки большего основания, отсекаемые этими высотами по краям, равны между собой:

Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB=30$ и катетом $AH=24\text{:}$

Рассмотрим диагональ $AC\text{.}$ Её горизонтальная проекция на большее основание равна $AH+BC=24+56=80\text{,}$ а вертикальная проекция равна высоте $h=18\text{.}$ Тогда по теореме Пифагора:

Ответ: 82.