Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD = 104 и BC = 56 и боковыми сторонами AB = CD = 30. Опустим из вершин B и C меньшего основания высоты на большее основание AD. В силу симметрии равнобедренной трапеции отрезки большего основания, отсекаемые этими высотами по краям, равны между собой: AH = (AD - BC)/(2) = (104 - 56)/(2) = 24. Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой AB = 30 и катетом AH = 24: h = sqrt(30^2 - 24^2) = sqrt(900 - 576) = sqrt(324) = 18. Рассмотрим диагональ AC. Её горизонтальная проекция на большее основание равна AH + BC = 24 + 56 = 80, а вертикальная проекция равна высоте h = 18. Тогда по теореме Пифагора: AC = sqrt(80^2 + 18^2) = sqrt(6400 + 324) = sqrt(6724) = 82. Ответ: 82.

82