Задача №10613

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны $72$ и $54\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма.

В параллелограмме, диагонали которого являются биссектрисами углов, все стороны равны, поэтому данный параллелограмм — ромб. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть диагонали равны $AC=72$ и $BD=54\text{.}$ Их половины:
$AO=OC=\frac{72}{2}=36\text{,}$ $BO=OD=\frac{54}{2}=27\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Следовательно, сторона ромба:
$AB=\sqrt{2025}=45\text{.}$

Периметр ромба:
$P=4\cdot AB=4\cdot 45=180\text{.}$

Ответ: 180