Задача №10612

Поскольку внешний угол при вершине $C$ равен $150^{\circ }\text{,}$ смежный с ним внутренний угол $BCA$ равен:

$$\angle BCA=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

Так как $AB=BC=14\text{,}$ треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{.}$

Отрезок $BK$ является медианой, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, поэтому он также является его высотой (то есть $BK\perp AC$). Следовательно, треугольник $BKC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BKC$ катет $BK$ лежит напротив угла $\angle BCK=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, длина такого катета равна половине длины гипотенузы $BC\text{:}$

$$BK=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7.$$

Ответ: 7.