Задача №10611

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=47\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. В параллелограмме, диагонали которого перпендикулярны, все стороны равны, поэтому он является ромбом. Значит, $AB=BC=CD=AD=47\text{.}$

2. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ а противоположные углы в параллелограмме равны, поэтому $\angle A=\angle C=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В ромбе $AB=AD\text{,}$ поэтому треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $BD$ и углом при вершине $A\text{,}$ равным $60^{\circ }\text{.}$

4. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $60^{\circ }$ углы при основании равны: $\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{,}$ значит, все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ и он является равносторонним.

5. Следовательно, $BD=AB=47\text{.}$

Ответ: 47