Задача №10609 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC внешний угол при основании равен 150^, а медиана BM, проведённая к основанию, равна 43. Найдите боковую сторону треугольника ABC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, так как медиана BM проведена к основанию. Следовательно, боковыми сторонами являются AB и BC. 1) Внешний угол при основании (при вершине C) равен 150^. Внутренний угол C смежен с внешним, поэтому: C = 180^ - 150^ = 30^. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, углы при основании равны: A = C = 30^. 2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, BM AC, а треугольник BMC — прямоугольный с прямым углом M ( BMC = 90^). 3) В прямоугольном треугольнике BMC угол C равен 30^. Катет BM, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы BC: BM = (1)/(2) BC => BC = 2 * BM. Подставим известное значение BM = 43: BC = 2 * 43 = 86. Таким образом, боковая сторона треугольника равна 86. Ответ: 86.

86