Задача №10606

Основания равнобедренной трапеции равны $52$ и $88\text{,}$ боковая сторона равна $30\text{.}$ Найдите длину диагонали трапеции.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=88\text{,}$ $BC=52$ и боковыми сторонами $AB=CD=30\text{.}$

Опустим высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD\text{.}$ Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки $AH$ и $KD$ равны. Пусть $AH=x\text{.}$ Тогда $AD=AH+HK+KD=x+52+x=2x+52\text{.}$ Из условия $2x+52=88\text{,}$ откуда $2x=36\text{,}$ $x=18\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора:

Теперь рассмотрим треугольник $ACK\text{,}$ где $CK=BH=24$ и $AK=AH+HK=18+52=70\text{.}$ Треугольник $ACK$ прямоугольный с прямым углом при $K$ (так как $CK$ — высота). По теореме Пифагора:

Ответ: 74