Задача №10599

В равнобедренном треугольнике $ABC$ (так как $AB=BC=34$) биссектриса $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).

Поскольку $BK$ — биссектриса угла $\angle ABC=120^{\circ }\text{,}$ угол $ABK$ равен:

$$\angle ABK=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABK$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$\angle BAK=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

По свойству прямоугольного треугольника, катет $BK\text{,}$ лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BK=\frac{AB}{2}=\frac{34}{2}=17.$$

Ответ: 17