Задача №10599 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 34, ABC = 120^, BK — биссектриса. Найдите длину отрезка BK.

В равнобедренном треугольнике ABC (так как AB = BC = 34) биссектриса BK, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, треугольник ABK — прямоугольный с прямым углом при вершине K ( AKB = 90^). Поскольку BK — биссектриса угла ABC = 120^, угол ABK равен: ABK = ( ABC)/(2) = (120^)/(2) = 60^. В прямоугольном треугольнике ABK сумма острых углов равна 90^, поэтому: BAK = 90^ - ABK = 90^ - 60^ = 30^. По свойству прямоугольного треугольника, катет BK, лежащий напротив угла в 30^, равен половине гипотенузы AB: BK = (AB)/(2) = (34)/(2) = 17. Ответ: 17

17