Задача №10597

1. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC=10\text{,}$ медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ также является его высотой.

2. Из этого следует, что треугольник $BKC$ — прямоугольный с гипотенузой $BC=10$ и катетом $BK=6\text{.}$ По теореме Пифагора найдём катет $KC\text{:}$

$$KC=\sqrt{B{C}^2-B{K}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$

3. Так как $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой основания $AC\text{,}$ откуда:

$$AC=2\cdot KC=2\cdot 8=16$$

4. Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ значит, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{,}$ параллельная основанию $AC\text{.}$

5. Длина средней линии равна половине стороны, которой она параллельна:

$$MN=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8$$

Ответ: 8