Задача №10597 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 6, боковая сторона BC = 10. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB = BC = 10, медиана BK, проведённая к основанию AC, также является его высотой. 2. Из этого следует, что треугольник BKC — прямоугольный с гипотенузой BC = 10 и катетом BK = 6. По теореме Пифагора найдём катет KC: KC = sqrt(BC^2 - BK^2) = sqrt(10^2 - 6^2) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8 3. Так как BK — медиана, точка K является серединой основания AC, откуда: AC = 2 * KC = 2 * 8 = 16 4. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, значит, MN — средняя линия треугольника ABC, параллельная основанию AC. 5. Длина средней линии равна половине стороны, которой она параллельна: MN = (AC)/(2) = (16)/(2) = 8 Ответ: 8

8