Задача №10596

Найдем внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ треугольника $ABC\text{.}$ Поскольку сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ получаем:

$\angle A=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$
$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$

Так как углы при основании равны ($\angle A=\angle C=30^{\circ }$), треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$ Отсюда следует, что:

$AB=BC=42$

В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, $BK\perp AC\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ лежит против угла $\angle BAK=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы:

$BK=\frac{AB}{2}=\frac{42}{2}=21$

Ответ: 21