Задача №10596 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 42. Найдите длину биссектрисы BK.

Найдем внутренние углы при вершинах A и C треугольника ABC. Поскольку сумма смежных углов равна 180^, получаем: A = 180^ - 150^ = 30^ C = 180^ - 150^ = 30^ Так как углы при основании равны ( A = C = 30^ ), треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Отсюда следует, что: AB = BC = 42 В равнобедренном треугольнике биссектриса BK, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, BK AC, то есть треугольник ABK — прямоугольный с прямым углом при вершине K. В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит против угла BAK = 30^ . По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30^, равен половине гипотенузы: BK = (AB)/(2) = (42)/(2) = 21 Ответ: 21

21