Задача №10589

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенуза равна $AB=4\text{,}$ а катет $AC=\sqrt{7}\text{.}$

Способ 1 (через теорему Пифагора).

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$$B{C}^2+A{C}^2=A{B}^2.$$

Подставим известные значения:

$$B{C}^2+(\sqrt{7}{)}^2=4^2,$$ $$B{C}^2+7=16,$$ $$B{C}^2=9.$$

Так как длина стороны треугольника должна быть положительной, находим:

$$BC=3.$$

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}=0,75.$$

Способ 2 (через основное тригонометрическое тождество).

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$$

Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1\text{,}$ выразим косинус угла $B\text{:}$

$${\cos }^{2}B=1-{\sin }^{2}B,$$ $${\cos }^{2}B=1-{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}.$$

Так как угол $B$ является острым углом прямоугольного треугольника, его косинус положителен:

$$\cos B=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}=0,75.$$

Ответ: 0,75.