В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 40. Найдите длину стороны AB.

Так как медиана BM делит угол B пополам, она одновременно является и медианой, и биссектрисой, проведёнными из вершины B. Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный с равными боковыми сторонами при этой вершине. Значит, AB = BC, и отрезок BM является также высотой, то есть BM AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. В нём угол AMB = 90^, а угол ABM равен половине угла B: ABM = (120^)/(2) = 60^. Катет BM = 40 прилежит к углу ABM, а сторона AB — гипотенуза. Тогда: cos ABM = (BM)/(AB) => AB = (BM)/(cos 60^) = (40)/(0,5) = 80. Ответ: 80.

80