Задача №10585

Так как медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, она одновременно является и медианой, и биссектрисой, проведёнными из вершины $B\text{.}$ Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный с равными боковыми сторонами при этой вершине. Значит, $AB=BC\text{,}$ и отрезок $BM$ является также высотой, то есть $BM\perp AC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM\text{.}$ В нём угол $AMB=90^{\circ }\text{,}$ а угол $ABM$ равен половине угла $B\text{:}$

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Катет $BM=40$ прилежит к углу $ABM\text{,}$ а сторона $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos \angle ABM=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{40}{0,5}=80.$$

Ответ: 80.