Задача №10584

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle B=90^{\circ }$$

Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ ($\angle CHB=90^{\circ }$). Сумма его острых углов также равна $90^{\circ }\text{:}$

$$\angle BCH+\angle B=90^{\circ }$$

Из этого следует, что $△ABC$ и $△BCH$ имеют равные углы:

$$\angle BCH=\angle A$$

Следовательно, синусы этих углов равны:

$$\sin (\angle BCH)=\sin A=0,2$$

В прямоугольном треугольнике $BCH$ синус угла $BCH$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к гипотенузе $BC\text{:}$

$$\sin (\angle BCH)=\frac{BH}{BC}$$

Подставим известные величины $BC=20$ и $\sin (\angle BCH)=0,2\text{:}$

$$0,2=\frac{BH}{20}$$ $$BH=20\cdot 0,2=4$$

Ответ: 4