Задача №10583

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ сумма острых углов равна $90^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle B=90^{\circ }.$$

Поскольку $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB\text{,}$ треугольник $BCH$ также является прямоугольным ($\angle BHC=90^{\circ }$). Сумма его острых углов равна $90^{\circ }\text{:}$

$$\angle BCH+\angle B=90^{\circ }.$$

Из этих двух равенств следует, что:

$$\angle BCH=\angle A.$$

Следовательно, синусы этих углов также равны:

$$\sin (\angle BCH)=\sin A=0,8.$$

В прямоугольном треугольнике $BCH$ синус угла $BCH$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к гипотенузе $BC\text{:}$

$$\sin (\angle BCH)=\frac{BH}{BC}.$$

Подставим известные значения:

$$0,8=\frac{BH}{15}.$$

Отсюда находим длину отрезка $BH\text{:}$

$$BH=15\cdot 0,8=12.$$

Ответ: 12.