Задача №10578

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=13\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. По условию $ABCD$ — параллелограмм, в котором диагонали перпендикулярны. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

2. У ромба все стороны равны, поэтому $AB=BC=CD=DA=13\text{.}$

3. Противоположные углы ромба равны, значит, $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию их сумма равна $120^{\circ }\text{:}$

4. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB=AD=13\text{,}$ так как это стороны ромба. Значит, треугольник $ABD$ — равнобедренный с углом при вершине $60^{\circ }\text{.}$

5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

6. Так как все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ он является равносторонним. Следовательно, $BD=AB=AD=13\text{.}$

Ответ: 13